针对签订合同第三天开除员工是否合法的直接回复，可依据《中华人民共和国劳动合同法》相关条款进行法律分析：
根据《中华人民共和国劳动合同法》（2012年修正版）第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的等。若签订合同第三天处于试用期，公司能证明员工不符合录用条件，或员工存在严重违纪等情形，开除合法；若公司无上述法定理由，依据第四十八条，属违法解除，需承担相应责任。
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签订合同第三天被开除时，需避免以下常见错误操作：
1. 忽视证据收集：未及时收集劳动合同、工作记录等证据，导致后续维权缺乏依据。
2. 盲目签署离职文件：在未明确开除理由和法律后果的情况下，随意签署离职协议或放弃权利的文件。
3. 错过维权时效：未在法定时效内（劳动争议申请仲裁的时效为一年）主张权利，导致权益无法得到保障。

若您对公司开除行为有异议，建议及时向专业律师咨询，避免因错误操作损害自身权益。
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签订合同第三天开除员工的处理可能受以下特殊情况影响：
1. 劳动合同存在特殊约定：若劳动合同中约定了试用期或特定的解除条件，且该约定合法有效，将直接影响开除行为的合法性。例如，合同约定试用期为一个月，签订合同第三天仍在试用期，公司可依据不符合录用条件开除员工。
2. 公司规章制度不合法：若公司规章制度未依法制定或未向员工公示，即使员工存在违纪行为，公司以此为由开除也可能不合法。例如，公司以员工违反未公示的规章制度为由开除，该行为可能被认定为违法解除。
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签订合同第三天被开除可能面临以下法律风险：
1. 经济损失风险：若公司违法开除，员工可能获得赔偿金，但如果员工未及时维权，可能因证据不足或时效问题无法获得赔偿。例如，员工被开除后未收集证据，导致无法证明公司违法解除，最终无法获得经济补偿。
2. 就业权益影响：违法开除可能影响员工的就业记录和职业声誉，例如在后续求职中，新单位可能因员工被开除的记录对其产生负面评价。

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